8. The Mystical Mathematics of Hypatia: Introduction to Hypatia; What is a Conic Section

A.     Mistik Matematika dari Hypatia

            Hypatia dari Alexandria adalah wanita pertama untuk memberikan kontribusi besar bagi perkembangan matematika. Hypatia adalah putri dari Theon matematikawan dan filsuf dari Alexandria. Menurut Krant (69:2006) Hypatia (430 SM - 370 SM) adalah putri dari astronom dan ahli matematika Theon, dan istri dari    filsuf  Isidrus, ia berkembang selama masa pemerintahan Kaisar Arcadius. Para sejarawan percaya bahwa Theon berusaha mejadikan putrinya menjadi "manusia sempurna", yang memiliki kelebihan kecantikan fisik dan kecerdasan. Sehingga dia memiliki karunia fisik yang luar biasa dan berprestasi. Hypatia adalah seorang sarjana yang berdedikasi dan memiliki kecerdasan yang menjulang dan menjadi sukses lebih dari ayah dan guru-gurunya dan menjadi cahaya intelektual terkemuka dari Alexandria (Mesir). 

            Hypatia menjadi kepala sekolah Platonis di Aleksandria pada sekitar 400 M. Di sana ia mengajar matematika dan filsafat, dalam mengajar khususnya filsafat Neoplatonisme. Hypatia berdasarkan ajaran Plotinus (pendiri Neoplatonisme), dan Iamblichus yang adalah seorang pengembang Neoplatonisme sekitar 300 M. Plotinus mengajarkan bahwa ada suatu realitas terakhir yang berada di luar jangkauan pikiran atau bahasa. Tujuan hidup adalah untuk bertujuan ini realitas yang tak pernah dapat dijelaskan dengan tepat. Berikut fatwa hypatia kepada murid-muridnya yang berpengaruh pada saat tersebut :

Semua ajaran agama yg keliru tidak harus diterima oleh seseorang sebagai penghargaan diri pada akhirnya.

Anda berhak untuk berpikir, bahkan untuk berpikir salah lebih baik daripada tidak berpikir sama sekali.

Neo-Platonisme adalah filsafat progresif (berlangsung), dan tidak mengharapkan untuk menyatakan kondisi akhir manusia untuk pikiran yang tidak terbatas.

Hidup adalah penyingkapan, dan semakin jauh kita berjalan semakin banyak kebenaran yang bisa kita pahami. Untuk memahami “hal-hal” yang berada diluar dunia kita adalah persiapan terbaik  untuk memahami hal-hal yang berada di dalamnya

Dongeng harus diajarkan sebagai dongeng, mitos sebagai mitos, dan mukjizat sebagai fantasi puitis. Untuk mengajarkan takhayul sebagai kebenaran adalah hal yang paling mengerikan. Pikiran anak menerima dan percaya mereka, dan hanya melalui penderitaan yang luar biasa dan mungkin tragedi bisa ia berada di setelah bertahun-tahun lega dari mereka. Pada kenyataannya manusia
akan berjuang untuk takhayul yang cukup secepat kenyataan yang hidup biasanya lebih dari itu, karena takhayul sangat tidak berwujud Anda tidak bisa mendapatkan hal itu untuk menyangkalnya,
tetapi kenyataannya adalah sudut pandang pandang, sehingga ini bisa berubah.

            Pada masanya Hypatia memiliki kemampuan ilmiah luar biasa sehingga orang kagum dan hormat kepadanya. Dia sering berkorespondensi dengan ulama dan diselenggarakan dari kota-kota lain dan digambarkan oleh semua komentatornya yang karismatik.

            Ketika Roma dikuasai Kristen, Hypatia adalah seorang pemikir kafir (non-Kristen) pada saat itu. Dengan demikian, meskipun moralnya sangat baik, dia mempunyai banyak musuh karena kemampuannya  yang sangat dalam mengenai pengetahuan ilmiah pada masa itu. Hypatia dibunuh secara brutal oleh para biarawan yang Nitrian sebuah sekte fanatik Kristen, di bawah kepemimpinan Cyril, Uskup Alexandria. Setelah pembunuhan hypatia, Ini awal penurunan dari Alexandria sebagai pusat utama belajar kuno. Kemudian siswa dari Hypatia ada yang melarikan diri ke Athena, di mana studi matematika berkembang setelah itu. Ketika perpustakaan Alexandria dibakar, karya-karya Hypatia hancur. http://womenshistory.about.com/od/hypati1/a/hypatia.htm            

            Dan kita tahu pikiran hypatia hari ini hanya berupa kutipan dan kutipan ini sebagian terdapat dalam karya-karya orang lain. Bahkan ada beberapa surat tertulis kepadanya pada zaman tersebut masih ada. Berikut ini contoh kutipan dari hypatia, seperti : surat-surat yang Synesius tulis kepada Hypatia telah diawetkan dan kita melihat seseorang yang penuh dengan kekaguman dan hormat untuk belajar dengan Hypatia karena kemampuan ilmiah. Di antara murid yang dia diajarkan di Alexandria ada banyak orang Kristen yang terkemuka. Salah satu yang paling terkenal adalah Synesius dari Kirene yang kemudian menjadi Uskup Ptolemais. Article by: J J O'Connor and E F Robertson bisa diakses di http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Hypatia.html.

            Tidak ada bukti bahwa Hypatia melakukan penelitian matematika asli. Namun ia membantu ayahnya Theon dari Alexandria secara tertulis sebelas bagian komentar pada Ptolemy 's Almagest. Hal ini juga berpikir bahwa ia juga membantu ayahnya dalam memproduksi versi baru dari Euclid 's Elemen yang telah menjadi dasar untuk semua edisi selanjutnya dari Euclid. Heath menulis edisi Theon dan Hypatia terhadap Elemen [4]: ​​- T L Heath, A History of Greek Mathematics (2 Vols.) (Oxford, 1921). Article by: J J O'Connor and E F Robertson bisa diakses di http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Hypatia.html

            Hypatia memberi komentar pada Arithmetica dari Diophantus dari Alexandria, di Conics dari Apollonius dari Perga, dan pada kanon astronomi Ptolomeus. Karya-karya ini hilang, tapi judul mereka, dikombinasikan dengan surat Synesius, yang berkonsultasi kepadanya tentang pembangunan sebuah astrolabe dan hydroscope sebuah, menunjukkan bahwa ia mengabdikan dirinya terutama untuk astronomi dan matematika. Keberadaan dari setiap karya-karya filosofis ketat oleh tidak diketahui. Filosofinya lebih ilmiah dan ilmiah dalam bunga dan kurang mistik dan intransigently kafir daripada sekolah Athena dan merupakan perwujudan dari Neoplatonisme Alexandria. Article by: J J O'Connor and E F Robertson bisa diakses di http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Hypatia.html

A.     What Is a Conic Section

            Menurut Krant (70:2006) Hypatia dikenang hari ini karena karyanya tentang teori Appolonius yang dari conics (kerucut), dan untuk komentar-komentarnya pada Diophantus. Semua teori-teori bertahan hingga  sampai saat ini, dan masih dipelajari saksama. Dia juga bekerja  bersama ayahnya, melakukan editing Elemen euclid. Tentu Hypatia adalah salah satu pemikir besar sepanjang masa, dan cocok bagi kita untuk memberi penghormatan karena dia. Tapi kita tidak punya rinci pengetahuan tentang kerja-tentu pengetahuan tidak langsung. Jadi apa yang kita dapat Anda lakukan adalah untuk mempelajari bagian berbentuk kerucut dengan Hypatia dalam pikiran, mengetahui bahwa dia tentu meninggalkan jejak-nya mengenai hal ini. Kami akan memberikan beberapa klasik ide, sebagai Hypatia dirinya akan dipahami mereka,dan juga beberapa modern-ide berdasarkan analisis geometri dari Ren'e Descartes .

Sumber : http://ilmumatematika.com/geometer-terbesar-apollonius/

            Appolonius (Perga, 262-200SM), inspirasi Hypatia, yang pertama kali menyadari bahwa semua dari bagian berbentuk kerucut dapat direalisasikan sebagai irisan kerucut tetap. dia juga memberi nama pada bagian berbentuk kerucut yang kita gunakan hari ini. (diakses http://ilmumatematika.com/geometer-terbesar-apollonius/)

            Bagian berbentuk kerucut adalah salah satu kurva tertua, dan merupakan subjek matematika tertua dipelajari secara sistematis dan seksama. Para conics tampaknya telah ditemukan oleh Menaechmus (a, Yunani c.375-325 SM), tutor untuk Alexander Agung. Mereka dikandung dalam upaya untuk memecahkan tiga masalah terkenal trisecting sudut, duplikasi kubus, dan mengkuadratkan lingkaran. Para conics pertama kali didefinisikan sebagai perpotongan dari:  kerucut lingkaran tegak dari berbagai sudut vertex, sebuah bidang tegak lurus dengan unsur kerucut. (Sebuah elemen kerucut adalah setiap garis yang membentuk kerucut) Tergantung sudut kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dari 90 derajat, kita mendapatkan elips, parabola, atau hiperbola masing-masing. Appollonius (c. 262-190 SM) (dikenal sebagai ahli ilmu ukur Besar) sebelumnya hasil konsolidasi dan diperpanjang conics menjadi Bagian monografi Conic, yang terdiri dari delapan buku dengan proposisi 487. Kutipan dari Morris Kline: "Sebagai sebuah prestasi itu [Bagian Conic Appollonius '] begitu monumental yang secara praktis menutup tunduk pada pemikir kemudian, setidaknya dari sudut pandang murni geometris." Buku VIII dari Bagian Conic hilang kepada kami. Bagian Conic Appollonius 'dan Euclid' s Elemen dapat mewakili intisari matematika Yunani. (diakses http://hypatia.ucsd.edu/~kl/hypatia.html

            Appollonius adalah orang pertama yang mendasarkan teori ketiga conics pada bagian satu kerucut lingkaran, kanan atau miring. Dia juga yang memberi nama elips, parabola, dan hiperbola.
Sumber  : http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/emat6690/Insunit/conicsunit.html
Riwayat
                Apollonius yang menjadi matematikawan lahir di Perga, 262-200SM, Pamphylia yang sekarang dikenal dengan sebutan Murtina atau Murtana, terletak di Antalya, Turki. Pada jaman itu, Perga adalah pusat kebudayaan dan lokasi kuil Artemis, dewi alam. Saat muda usia Apollonius pergi ke Alexandria dimana dia belajar di bawah bimbingan para pengikut Euclid sebelum mengajar di sana. Kemudian, Apollonius pergi ke Pergamun di mana di sana terdapat universitas dan perpustakaan besar untuk menyaingi perpustakaan besar di Alexandria sedang dalam tahap pembangunan. Pergamum saat ini tidak lain merupakan nama lain dari kota Bergama terletak pada propinsi Izmir di Turki, adalah kota Yunani kuno. Dengan lokasi pada 25 km dari laut Aegean pada perbukitan sebelah utara lembah sungai Caicus (sekarang disebut dengan sungai Bakir). Riwayat Apollonius diakses http://ilmumatematika.com/geometer-terbesar-apollonius/

            Di Pergemum, Apollonius bertemu dengan Eudemus yang menulis buku Sejarah Geometri (Hystory of Geometry) dan Attalus, yang diperkirakan adalah Raja Attalus I dari Pergamum. Prakiraan ini diawali dari kata pengantar buku Apollonius yang menunjukkan rasa hormat dan sembah takzim kepada Attalus. Riwayat Apollonius diakses http://ilmumatematika.com/geometer-terbesar-apollonius/

            Dalam Renaisans, hukum Kepler tentang gerak planet, Descarte dan Fermat koordinat geometri, dan awal dari geometri proyektif dimulai oleh Desargues, La Hire, Pascal mendorong conics ke tingkat tinggi. Banyak matematikawan kemudian juga telah membuat kontribusi untuk conics, terutama dalam pengembangan projective geometri mana conics adalah obyek fundamental sebagai lingkaran dalam geometri Yunani. Di antara kontributor, kami mungkin menemukan Newton, Dandelin, Gergonne, Poncelet, Brianchon, Dupin, Chasles, dan Steiner. Bagian berbentuk kerucut adalah topik klasik yang kaya yang telah mendorong banyak perkembangan dalam sejarah matematika. (diakses sejarah bagian conic di http://hypatia.ucsd.edu/~kl/hypatia.html)

Karya-karya yang hilang

            Karya-karya Apollonius banyak yang hilang. Skema bilangan dari Apollonius barangkali adalah salah satu yang terselamatkan dari bagian terakhir buku II berjudul Kumpulan Matematikal (Mathematical Collections) dari Pappus (Semua buku I dan awal buku II hilang). Apollonius juga menulis Cara Cepat (Quick Delivery) yang berisikan pengajaran tentang tip-tip atau teknik-teknik penghitungan cepat. Diketahui bahwa karya-karya Apollonius yang hilang seperti: penjabaran nisbah/ratio (Cutting-off Ratio); penjabaran luas (cutting-off of an area); seksi penentu (On Determinate Section); Tangen; titik potong (vergings) dan Plane Loci.

            Dari gambaran yang ditulis dari karya-karya Pappus dan para pendahulunya, muncul gagasan, pada abad ke-17, untuk merekonstruksi buku-buku geometri karya matematikawan Yunani kuno yang hilang, dimana makalah karya Apollonius adalah salah satu diantaranya. Kelak karya Apollonius ditemukan oleh para bangsawan Perancis (termasuk Fermat) pada abad 17 yang memberi pengaruh besar bagi para matematikawan Perancis pada umumnya dan Fermat pada khususnya.

Karya puncak, Conics (kerucut)

            Buku pertama Conics (kerucut) membahas segala sesuatu tentang hal-hal mendasar tentang kurva-kurva yang disebut “paling lengkap dan lebih umum dibanding pengarang-pengarang lain.” Dalam buku ini pula disebutkan theorema dan transformasi koordinat dari sistem yang didasarkan pada tangen dan diameter pada titik P yang berada pada kerucut ke dalam sistem baru yang ditentukan oleh tangen dan diameter dari titik Q yang berada pada kurva yang sama. Apollonius sangat mengenal karakteristik hiperbola dengan asimtut sebagai absisnya. Persamaan xy = c2 adalah hiperbola sama sisi yang mirip dengan rumus hukum Boyle tantang gas.

            Buku kedua melanjutkan bahasan tentang tangen dan diameter. Dengan menggunakan proposisi-proposisi dan gambar-gambar kurva.

            Buku ketiga disebut oleh Apollonius yang paling membanggakan dirinya karena disebutkan berisi theorema-theorema yang bermanfaat untuk melakukan (operasi) sintesis dan solid loci penentuan limit. Disebutkan olehnya bahwa Euclid belum menyinggung topik ini. Locus tiga dan empat garis memegang peran penting dalam matematika sejak Euclid sampai Newton.

            Buku keempat menggambarkan keinginan pengarangnya untuk menunjukkan “Berapa banyak cara bagian kerucut dapat saling berpotongan.” Ide tentang hiperbola dua cabang yang berlawanan arah adalah gagasan Apollonius.

            Buku kelima berhubungan dengan maksimum dan minimum garis lurus yang bersinggungan dengan kerucut. Pada saat buku ini dibuat, tidak pernah terpikirkan bahwa akan konsep-konsep didalamnya mendasari dinamika bumi (terrestial) dan mekanika alam semesta (celestial). Tanpa pengetahuan tentang tangen terhadap parabola mustahil analisis terhadap lintasan peluru tidaklah dimungkinkan.

            Buku keenam, berisikan proposisi-proposisi tentang bagian dari kerucut apakah sama atau beda, mirip atau berlainan. Terdapat satu proposisi yang membuktikan bahwa apabila sebuah kerucut dipotong oleh dua garis sejajar terjadilah bagian-bagian hiperbolik dan eliptik, bagian yang mirip namun tidak sama.

            Buku ketujuh kembali membicarakan tentang mentasrifkan (conjungate) diameter-diameter dan berbagai “proposisi-proposisi baru” yang membahas diameter dari bagian-bagian kerucut.

Asal-usul nama

Archimedes sudah mencetuskan nama parabola yang artinya bagian sudut kanan kerucut. Apollonius (barangkali melanjutkan penamaan Archimedes) mengenalkan kata elips dan hiperbola dalam kaitannya dengan kurva-kurva tersebut. Istilah “elips”, “parabola”, dan “hiperbola” bukanlah penemuan Achimedes maupun Apollonius; mereka mengadaptasi kata dan artinya dari para pengikut Pythagoras (pythagorean), dalam menyelesaikan persamaan-persamaan kuadratik untuk aplikasi mencari luas.

Elips berarti kurang atau tidak sempurna digunakan untuk memberi nama apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya kurang.

Hiperbola yang artinya kelebihan dipakai apabila luas persegi panjang pada bidang yang diketahui disetarakan dengan bagian garis tertentu yang diketahui hasilnya lebih.

Parabola yang artinya di samping atau pembanding tidak mengindikasikan lebih atau kurang.

Apollonius menggunakan ketiga istilah di atas dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal, (0,0), sistem Kartesian, adalah y² = lx (l = “latus rectum” atau parameter) sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.

Geometer Yunani membagi kurva menjadi 3 kategori. Pertama, “plane loci” terdiri dari garis lurus dan lingkaran; kedua, “solid loci” terdiri dari bagian/potongan kerucut; ketiga, “liniear loci” gabungan antara garis dan bentuk bidang.

Sumbangsih Apollonius

Konsep parabola, hiperbola dan elips banyak memberi sumbangan bagi astronomi modern. Buku Newton Principia memberi harapan orang melakukan perjalanan ke luar angkasa. Baru tahun 1960-an, keinginan itu terlaksana karena pemahaman konsep minima, maksima dan tangen dari Apollonius. Karya Apollonius kelak digeneralisasikan oleh Descartes – setelah ada “sentuhan” Pappus, untuk menguji geometri analitik. Tema seperti buku teks dan bahasan yang mendalam dan rinci mamberi inspirasi bagi perkembangan matematika abad-abad berikutnya.

 DAFTAR PUSTAKA

Krantz, G. Steven. 2006. An Episodic History of Mathematics.

Riwayat Apollonius diakses http://ilmumatematika.com/geometer-terbesar-apollonius/

Article by: J J O'Connor and E F Robertson bisa diakses di http://www.gap-system.org/history / Biographies  /Hypatia.html

Sejarah Bagian Conic diakses http://hypatia.ucsd.edu/~kl/hypatia.html

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/emat6690/Insunit/conicsunit.html
http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/projects/perspective/theory.htm

http://sejarahmatematiakabyandini.blogspot.com/2011/06/sejarah-irisan-kerucut.html