PEMAHAMAN KONSEP

PEMAHAMAN KONSEP DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN KONSTRUKTIVISME

Media Harja

mediaharja@yahoo.co.id

Abstrak : Salah satu tujuan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) pelajaran matematika, yaitu agar peserta didik memiliki kemampuan memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah. Terdapat banyak peserta didik yang setelah belajar matematika, tidak mampu memahami  bahkan pada bagian yang paling sederhana sekalipun, banyak konsep yang dipahami secara keliru sehingga matematika dianggap sebagai ilmu yang sukar, ruwet, dan sulit. Pemahaman konsep merupakan bagian yang paling penting dalam pembelajaran matematika, peningkatan pemahaman konsep matematika perlu diupayakan demi keberhasilan peserta didik dalam belajar. Pendekatan Konstruktivisme merupakan salah satu upaya mengatasi permasalah tersebut yaitu dengan menjadikan siswa sebagai subjek belajar bukan lagi objek belajar.

Kata Kunci : Pemahaman, Konsep, Pembelajaran, Matematika, Kostruktivisme.

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

            Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang dan matematika diskrit.  Untuk menguasai dan mencipta teknologi di masa depan diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini.

   Mengingat pentingnya  peranan  matematika  ini, upaya untuk meningkatkan sistem pengajaran   matematika  selalu   menjadi   perhatian, khususnya   bagi   pemerintah   dan    ahli pendidikan matematika.  Salah satu upaya nyata yang telah dilakukan pemerintah terlihat pada penyempurnaan kurikulum matematika. Ditetapkannya Undang-Undang Nomor 20 tahun 2003 tentang Sistem Pendidikan Nasional dan Peraturan Pemerintah Nomor 6 tahun 2007 tentang Standar Nasional Pendidikan membawa implikasi terhadap sistem dan penyelenggaraan pendidikan termasuk pengembangan dan pelaksanaan kurikulum. Kebijakan pemerintah tersebut mengamanatkan kepada setiap satuan pendidikan dasar dan menengah untuk mengembangkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP).  Menurut Depdiknas (2006), Salah satu tujuan Kurikulum KTSP pelajaran matematika yaitu agar peserta didik memiliki kemampuan memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah.

            Menurut Rohana (2011:111) Dalam memahami konsep matematika diperlukan kemampuan generalisasi serta abstraksi yang cukup tinggi. Sedangkan saat ini penguasaan peserta didik terhadap materi konsep – konsep matematika masih lemah bahkan dipahami dengan keliru. Sebagaimana yang dikemukakan Ruseffendi (2006:156) bahwa terdapat banyak peserta didik yang setelah belajar matematika, tidak mampu memahami bahkan pada bagian yang paling sederhana sekalipun, banyak konsep yang dipahami secara keliru sehingga matematika dianggap sebagai ilmu yang sukar, ruwet, dan sulit. Padahal pemahaman konsep merupakan bagian yang paling penting dalam pembelajaran matematika seperti yang dinyatakan Zulkardi (2003:7) bahwa ”mata pelajaran matematika menekankan pada konsep”. Artinya dalam mempelajari matematika peserta didik harus memahami konsep matematika terlebih dahulu agar dapat menyelesaikan soal-soal dan mampu mengaplikasikan pembelajaran tersebut di dunia nyata. Konsep-konsep dalam matematika terorganisasikan secara sistematis, logis, dan hirarkis dari yang paling sederhana ke yang paling kompleks. Pemahaman terhadap konsep-konsep matematika merupakan dasar untuk belajar matematika secara bermakna.

            Untuk mencapai pemahaman konsep peserta didik dalam matematika bukanlah suatu hal yang mudah karena pemahaman terhadap suatu konsep matematika dilakukan secara individual. Setiap peserta didik mempunyai kemampuan yang berbeda dalam memahami konsep – konsep matematika. Namun demikian peningkatan pemahaman konsep matematika perlu diupayakan demi keberhasilan peserta didik dalam belajar. Salah satu upaya untuk mengatasi permasalah tersebut, guru dituntut untuk profesional dalam merencanakan dan melaksanakan pembelajaran. Oleh karena itu, guru harus mampu mendesain pembelajaran matematika dengan metode, teori atau pendekatan yang mampu menjadikan siswa sebagai subjek belajar bukan lagi objek belajar.

            Pendekatan Konstruktivisme merupakan salah satu alternatif pendekatan pembelajaran yang dapat digunakan oleh para guru matematika dalam mengembangkan kemampuan siswa berpikir, bernalar, komunikasi, dan pemecahan masalah baik dalam pelajaran maupun dalam kehidupan sehari-hari. Pembelajaran dengan pendekatan konstruktivisme adalah proses belajar mengajar dimana siswa diberi kesempatan untuk membangun pengetahuannya sendiri, karena siswa terlibat aktif dan tekanan proses pembelajarannya terletak pada siswa. Berdasarkan hal tersebut penulis tertarik melakukan kajian matematika dengan judul “ Pemahaman Konsep Dalam Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Konstruktivisme ”.

            Berdasakan latar belakang masalah, permasalahan diatas dapat ditarik rumusan masalah sebagai berikut :

1.      Apakah yang dimaksud tentang pemahaman konsep matematika

2.      Apakah teori Konstruktivisme tersebut ?

Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan penulis ini adalah untuk :

1.      mengetahui maksud pemahaman konsep matematika

2.      mengetahui teori konstruktivisme.

Penulisan ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut :

1.      Bagi Penulis, dapat menambah pengetahuan tentang pemahaman konsep matematika dan teori konstruktivisme.

2.      Bagi Pembaca, penambah wawasan tentang pemahaman konsep matematika dan teori konstruktivisme.

TINJAUAN PUSTAKA

A.     Definisi Pemahaman, Konsep, dan Matematika

            Dalam proses mengajar, hal terpenting adalah pencapaian pada tujuan yaitu agar mahasiswa mampu memahami sesuatu berdasarkan pengalaman belajarnya. Kemampuan pemahaman ini merupakan hal yang sangat fundamental, karena dengan

pemahaman akan dapat mencapai pengetahuan prosedur. Menurut Purwanto (1994:44) pemahaman adalah tingkat kemampuan yang mengharapkan siswa mampu memahami arti atau konsep, situasi serta fakta yang diketahuinya. Sementara Mulyasa (2005 : 78) menyatakan bahwa pemahaman adalah kedalaman kognitif dan afektif yang dimiliki oleh individu. Selanjutnya Ernawati (2003:8) mengemukakan bahwa yang dimaksud dengan pemahaman adalah kemampuan menangkap pengertian-pengertian seperti mampu mengungkapkan suatu materi yang disajikan dalam bentuk lain yang dapat dipahami, mampu memberikan interpretasi dan mampu mengklasifikasikannya.

            Menurut Virlianti (2002:6) mengemukakan bahwa pemahaman adalah konsepsi yang bisa dicerna atau dipahami oleh peserta didik sehingga mereka mengerti apa yang dimaksudkan, mampu menemukan cara untuk mengungkapkan konsepsi tersebut, serta dapat mengeksplorasi kemungkinan yang terkait. Sejalan dengan pendapat diatas, pemahaman menurut Hamalik (2003:48) adalah kemampuan melihat hubungan hubungan antara berbagai faktor atau unsur dalam situasi yang problematis.

            Berdasarkan pengertian pemahaman diatas, penulis menyimpulkan pemahaman adalah suatu cara yang sistematis dalam memahami dan mengemukakan tentang sesuatu yang diperolehnya.

            Setiap materi pembelajaran matematika berisi sejumlah konsep yang harus disukai siswa. Pengertian konsep Menurut Ruseffendi (1998:157) adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan kita untuk mengklasifikasikan atau mengelompokkan objek atau kejadian itu merupakan contoh dan bukan contoh dari ide tersebut.

         

B.     Pemahaman Konsep Matematika

            Pemahaman konsep sangat penting, karena dengan penguasaan konsep akan memudahkan siswa dalam mempelajari matematika. Pada setiap pembelajaran diusahakan lebih ditekankan pada penguasaan konsep agar siswa memiliki bekal dasar yang baik untuk mencapai kemampuan dasar yang lain seperti penalaran, komunikasi, koneksi dan pemecahan masalah.

            Penguasan konsep merupakan tingkatan hasil belajar siswa sehingga dapat mendefinisikan atau menjelaskan sebagian atau mendefinisikan bahan pelajaran dengan menggunakan kalimat sendiri. Dengan kemampuan siswa menjelaskan atau mendefinisikan, maka siswa tersebut telah memahami konsep atau prinsip dari suatu pelajaran meskipun penjelasan yang diberikan mempunyai susunan kalimat yang tidak sama dengan konsep yang diberikan tetapi maksudnya sama.

            Menurut Patria (2007:21) mengatakan apa yang di maksud pemahaman konsep adalah kemampuan siswa yang berupa penguasaan sejumlah materi pelajaran, dimana siswa tidak sekedar mengetahui atau mengingat sejumlah konsep yang dipelajari, tetapi mampu mengungkapan kembali dalam bentuk lain yang mudah dimengerti, memberikan interprestasi data dan mampu mengaplikasikan konsep yang sesuai dengan struktur kognitif yang dimilikinya.

            Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Patria (2007:22) indikator yang termuat dalam pemahaman konsep diantaranya : (1) mampu menerangka secara verbal mengenai apa yang telah dicapainya, (2) mampu menyajikan situasi matematika kedalam berbagai cara serta mengetahui perbedaan, (3) mampu mengklasifikasikan objek-objek berdasarkan dipenuhi atau tidaknya persyaratan yang membentuk konsep tersebut, (3) mampu menerapkan hubungan antara konsep dan prosedur, (4) mampu memberikan contoh dan contoh kontra dari konsep yang dipelajari, (5) mampu menerapkan konsep secara algoritma, (6) mampu mengembangkan konsep yang telah dipelajari.

            Pendapat diatas sejalan dengan Peraturan Dirjen Dikdasmen Nomor 506/C/Kep/PP/2004 tanggal 11 November 2001 tentang rapor pernah diuraikan bahwa indikator siswa memahami konsep matematika adalah mampu : (1) menyatakan ulang sebuah konsep, (2) mengklasifikasi objek menurut tertentu sesuai dengan konsepnya, (3) memberikan contoh dan bukan contoh dari suatu konsep, (4) menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis, (5) mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup dari suatu konsep, (6) menggunakan dan memanfaatkan  serta memilih prosedur atau operasi tertentu, (7) mengaplikasikan konsep atau algoritma dalam pemecahan masalah.

            Berdasarkan uraian diatas, penulis dapat menyimpulkan definisi pemahaman konsep adalah Kemampuan yang dimiliki seseorang untuk mengemukakan kembali ilmu yang diperolehnya baik dalam bentuk ucapan maupun tulisan kepada orang sehingga orang lain tersebut benar-benar mengerti apa yang disampaikan.

           

C.       Teori Konstruktivisme

Menerapkan pendekatan konstruktivismeme dalam pembelajaran matematika diarahkan pada kegiatan-kegiatan yang mendorong siswa belajar aktif baik fisik, mental-intelektual, maupun sosial untuk membangun sendiri konsep-konsep matematika.

Konstruktivisme mempunyai pandangan bahwa pembelajaran merupakan produk interaksi antara apa yang diketahui siswa, informasi yang mereka temui, dan apa yang mereka lakukan ketika belajar.  Dengan kata lain, dalam pembelajaran yang beroerientasi pada konstruktivisme, siswa diharapkan membangun pengetahuan mereka sendiri melalui serangkaian aktivitas pembelajaran.

Selanjutnya Slavin (1994) menjelaskan bahwa pendekatan konstruktivisme dalam pengajaran lebih menekankan pada pengajaran “top-down” daripada “bottom-up”. Top-down berarti siswa mulai dengan masalah kompleks untuk dipecahkan dan kemudian menemukan (dengan bimbingan guru) keterampilan-keterampilan dasar yang diperlukan. Pendekatan top-down ini berlawanan dengan bottom-up yang pengajarannya dimulai dengan hal-hal mendasar menuju ke yang lebih kompleks.

     Menurut Suparno (1997) prinsip-prinsip konstruktivis yang banyak digunakan dalam pengajaran adalah : (1) pengetahuan dibangun oleh siswa secara aktif, (2) tekanan dalam pembelajaran terletak pada siswa, (3) mengajar adalah membantu siswa belajar, (4) pembelajaran lebih ditekankan pada proses bukan pada hasil akhir, (5) kurikulum menekankan partisipasi siswa, (6) guru adalah “fasilitator”.

            Dengan demikian arah pembelajaran harus mengacu pada siswa atau “student oriented” yang bermakna pembentukan keterampilan membangun pengetahuan sendiri. Dengan kata lain pendekatan konstruktivisme menghendaki agar siswa dapat menemukan secara individual pengetahuan tersebut, mentransformasikan informasi yang kompleks, memeriksa informasi dengan aturan yang ada, dan merevisinya bila perlu. Dalam proses ini keaktifan seseorang yang ingin tahu amat berperan dalam perkembangan pengetahuannya.

Lalu bagaimanakah menerapkan pendekatan konstruktivisme pada pembelajaran matematika di kelas ? Menurut Nurhadi (2004), ada lima langkah penting dalam pembelajaran matematika yang menerapkan pendekatan konstruktivismeme ini. Kelima langkah tersebut adalah sebagai berikut : (1) pengaktifan pengetahuan yang sudah ada (activating knowledge), (2) pemerolehan pengetahuan baru (acquiring knowledge) secara keseluruhan dan detail, (3) pemahaman pengetahuan (understanding knowledge) melalui penyelidikan dan sharing kepada sesama siswa, (4) menerapkan pengetahuan dan pengalaman yang diperoleh (applying knowledge) melalui pemecahan masalah-masalah matematika, (5) melakukan refleksi (reflecting on knowledge).

            Menurut Asikin (2004:11-14), dalam teori-teorinya yaitu teori konstruksi, notasi, kekontrasan dan variasi, serta konektivitas menyatakan bahwa belajar matematika adalah belajar tentang konsep-konsep dan struktur-struktur matematika yang terdapat dalam materi-materi yang dipelajari serta mencari hubungan-hubungan antara konsep-konsep dan struktur-struktur itu. Pemahaman terhadap konsep dan struktur suatu materi menjadikan materi itu dipahami secara lebih komprehensif lain dari itu peserta didik lebih mudah mengingat materi itu apabila yang dipelajari merupakan pola yang berstruktur. Dengan memahami konsep dan struktur akan mempermudah terjadinya transfer. Dengan kata lain pemahaman konsep yaitu memahami sesuatu kemampuan mengerti, mengubah informasi ke dalam bentuk yang bermakna.

PEMBAHASAN

Pembelajaran Dengan Teori Konstruktivisme

            Berdasarkan uraian diatas maka penulis dapat menyimpulkan proses pembelajaran dengan menggunakan teori konstruktivisme adalah sebagai berikut :

a.       Mengaitkan pembelajaran dengan pengetahuan awal yang telah dimiliki siswa

sehingga pengetahuan akan dikonstruksi siswa secara bermakna . Hal ini dapat dilakukan dengan menyediakan pengalaman belajar yang sesuai dengan

pengetahuan yang dimiliki siswa.

b.      Mengintegrasikan pembelajaran dengan situasi yang realistik dan relevan, sehingga siswa terlibat secara emosional dan sosial. Dengan demikian diharapkan matematika menjadi menarik baginya dan mereka termotivasi untuk belajar. Hal ini dapat dilakukan dengan cara menyediakan tugas-tugas matematika yang berhubungan dalam kehidupan sehari-hari.

c.       Menyediakan berbagai alternatif pengalaman belajar. Hal ini dapat dilakukan

dengan memberikan pertanyaan terbuka, menyediakan masalah yang dapat diselesaikan dengan berbagai cara atau yang tidak hanya mempunyai satu jawaban yang benar.

d.      Mendorong terjadinya interaksi dan kerjasama dengan orang lain atau lingkungannya, mendorong terjadinya diskusi terhadap pengetahuan baru.

e.       Mendorong penggunaan berbagai representasi atau media

f.        Mendorong peningkatan kesadaran siswa dalam proses pembentukan pengetahuan melalui refleksi diri. Dalam hal ini penting bagi siswa perlu didorong kemampuannya untuk menjelaskan mengapa atau bagaimana memecahkan suatu masalah atau menganalisis bagaimana proses mereka mengkonstruksi pengetahuan, demikian juga mengkomunikasikan baik lisan maupun tulisan tentang apa yang sudah dan belum diketahuinya.

            Adapun implikasi dari teori belajar konstruktivisme dalam pendidikan anak

Poedjiadi (1999: 63) adalah sebagai berikut :

1.      Tujuan pendidikan menurut teori belajar konstruktivisme adalah menghasilkan individu atau anak yang memiliki kemampuan berfikir untuk menyelesaikan setiap persoalan yang dihadapi,

2.      Kurikulum dirancang sedemikian rupa sehingga terjadi situasi yang memungkinkan pengetahuan dan keterampilan dapat dikonstruksi oleh peserta didik. Selain itu, latihan memcahkan masalah seringkali dilakukan melalui belajar kelompok dengan menganalisis masalah dalam kehidupan sehari-hari

3.       Peserta didik diharapkan selalu aktif dan dapat menemukan cara belajar yang sesuai bagi dirinya. Guru hanyalah berfungsi sebagai mediator, fasilitor, dan teman yang membuat situasi yang kondusif untuk terjadinya konstruksi pengetahuan pada diri peserta didik.

            Sebagaimana sudah dinyatakan, tidak setiap pengetahuan dapat dipindahkan

dengan mudah dari otak seorang guru ke dalam otak murid-muridnya. Menurut paham konstruktivisme, seorang siswa harus membangun sendiri pengetahuan tersebut. Karenanya seorang guru dituntut menjadi fasilitator proses pembelajarannya.

            Berdasarkan Uraian tinjauan pustaka  diatas bahwa pemahaman konsep matematis sangat penting dimiliki peserta didik sejak usia dini. Menurut Peraturan Dirjen Dikdasmen Nomor 506/C/Kep/PP/2004 tanggal 11 November 2001 tentang rapor pernah diuraikan bahwa indikator siswa memahami konsep matematika adalah mampu :

1.      Menyatakan ulang sebuah konsep

2.      Mengklasifikasi objek menurut tertentu sesuai dengan konsepnya

3.      Memberikan contoh dan bukan contoh dari suatu konsep

4.      Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis

5.      Mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup dari suatu konsep

6.      Menggunakan dan memanfaatkan  serta memilih prosedur atau operasi tertentu

7.      Mengaplikasikan konsep atau algoritma dalam pemecahan masalah.

            Berdasarkan indikator diatas, akan dibahas penjelasan masing- masing indikator tersebut dibawah ini. Untuk memahami maksud indikator diatas, penulis mengambil contoh pemahaman konsep untuk pokok bahasan perkalian.

1.      Menyatakan ulang sebuah konsep

Maksudnya adalah siswa mampu mendefinisikan apa itu 2 x 1, 2 x 2 dan 2 x 3,

2 x 1                                 = 2

2 x 2 = 2 + 2                    = 4

2 x 3 = 2 + 2 + 2             = 6

2.      Mengklasifikasi objek menurut tertentu sesuai dengan konsepnya

 Berdasarkan konsep diatas siswa juga bisa membuat, klasifikasikan objek tertentu,

a x 2 = a + a                    = 2a    

a x 3 = a + a + a             = 3a

3.      Memberikan contoh dan bukan contoh dari suatu konsep, maksudnya

Jambu x 2            =          jambu + jambu          = 2 jambu

Apel + apel          =          2 apel                          =  2 x apel      = apel x 2

4.      Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis

2 x 3 = 2 + 2 + 2 = 6  

3 x 2 = 3 + 3        = 6      

5.      Mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup dari suatu konsep

2        x 3      = 6

6.      Menggunakan dan memanfaatkan  serta memilih prosedur atau operasi tertentu

2 x 3 = 3 x 2 = 6

7.      Mengaplikasikan konsep atau algoritma dalam pemecahan masalah.

A x B = B x C = ……

5 x 5 = 5 x 5 = 25                                               4 x 5 = 5 x 4 = 20

100 x 100 = 100 x 100 = …..                 19 x 20 = 20 x 19 = …..

2 x 3 = 3 x 2 = 6                                     dan lain-lain

DAFTAR PUSTAKA

Dasari, D. 2002. Pengembangan Pembelajaran Matematika Berdasarkan Kurikulum   Berbasis  Kompetensi. Proceeding Seminar Nasional 5 Agustus 2002, hal 69-75.

Depdiknas. 2006a. Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan Standar Kompetensi SMP dan MTs. Jakarta: Depdiknas.

_________. 2006b. Peraturan Menteri Pendidikan Nasional No. 22 tahun 2006 tentang Standar isi untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta: Depdiknas

Ernawati. 2003. Meningkatkan Kemampuan Pemahaman Konsep Matematika Siswa SMU Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah. Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI (tidak dipublikasikan).

Herman, Tatang. 2006. Pembelajaran Berbasis Masalah untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematis Tingkat Tinggi Siswa SMP. Disertasi Doktor Program Pascasarjana UPI (tidak dipublikasikan).

Mulyasa, E. 2003. Kurikulum Berbasis Kompetensi. Bandung: Remaja Rosda Karya

Purwanto, M.N. 1994. Prinsip-prinsip dan Teknik Evaluasi Pengajaran Pendidikan. Bandung: Remaja Rosdakarya Riduwan. 2010. Dasar-dasar Statistika. Bandung: Alfabeta

Ruseffendi, E.T.. 2006. Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito.

Rohana. 2011. Pengaruh Pembelajaran Berbasis Masalah Terhadap Pemahaman Konsep Mahasiswa FKIP Universitas PGRI. Palembang :Prosiding PGRI

Sanjaya, Wina. 2009. Strategi Pembelajaran Berorientasi Standar Proses Pendidikan. Jakarta: Kencana Prenada Media Group.

Slavin, Robert E. Educational Psychology: Theory and Practice (Development During Childhood and Adolescence). Allyn and Bacon Paramount Publishing, Massachusetts, 1994.

Suherman, Herman. 2001. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung : JICA. Universitas Pendidikan Indonesia

Virlianti, Y. 2002. Analisis Pemahaman Konsep Siswa dalam Memecahkan Masalah kontekstual pada Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan Realistik. Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UPI (tidak dipublikasikan).

Zulkardi. 2003. Pendidikan Matematika di Indonesia : Beberapa Permasalahan dan Upaya Penyelesaiannya. Palembang: Unsri.

UTS Matematika Sekolah 1

NASKAH SOAL UTS MK MATEMATIKA SEKOLAH II

KERJAKAN SEMUA SOAL BERIKUT INI DENGAN CERMAT DAN SINGKAT

Soal :

1. 1.      Bagaimana guru matetika mengajarkan kemampuan penalaran dan komunikasi matematis, secara tertulis atau tersirat? Jelaskan!
2. 2.      Buatlah sebuah soal dan penyelesaiannya untuk mengukur kemampuan penalaran dan komunikasi serta sebutkan indikator mana yang diukur.
3. 3.      Buatlah sebuah soal pemecahan masalah nonrutin dan sebutkan aspek-aspek apa saja yang dapat diukur dari masalah tersebut.

Penyelesaian :

1. 1.  Dalam Proses pembelajaran matematika untuk membentuk mengajarkan kemampuan penalaran  yaitu dengan pemberian materi dan soal-soal cerita yang menggambarkan keadaan secara abstrak, yang menuntut siswa mengklasifikasikan, menghubungkan, membentuk kerangka teoritis, sehingga siswa memperoleh suatu kesimpulan (C5). Dimana proses penarikan kesimpulan telah terjadi proses berpikir  siswa yang telah menghubungkan fakta-fakta yang telah diketahui menuju kepada suatu  kesimpulan atau proses kegiatan siswa dalam beraktivitas  berpikir  untuk membuat pernyataan baru yang benar berdasarkan  pada beberapa pernyataan yang telah dibuktikan  dan diasumsikan sebelumnya. Kita ketahui bahwa penelaran merupakan suatu aktivitas berpikit untuk menarik kesimpulan baru berdasarkan pada beberapa pernyataan yang diketahui benar ataupun dianggap benar.  Bayangkan bagaimana jika dalam pembelajaran  matematika  siswa  tidak menggunakan kemampuan bernalar, siswa akan  kesulitan untuk memecahkan permasalahan atau mengambil keputusan. Begitu juga kemampuan bernalar tidak hanya dibutuhkan dalam pembelajaran matematika, namun juga didalam kehidupan sehari-hari dalam memecahkan masalah dan pengambilan keputusan oleh masyarakat. Sehingga kemampuan penalaran sangat penting dalam pembelajaran matematika. Sekali lagi kemampuan  dan keterampilan bernalar akan dibutuhkan para siswa atau warga masyarakat  ketika mereka mempelajari matematika. Dalam Proses pembelajaran matematika untuk selain penggunaan penalaan, perlu juga dikembangkan kemampuan komunikasi siswa dalam pembelajaran, baik secara lisan maupun tertulis sehingga dapat diketahui orang lain. Tujuannya tidak lain untuk mengukur sejauh mana pemahaman siswa untuk mengemukakan kembali pikirannya kepada siswa lain sehingga siswa lain dapat mengerti maksud penjelasan siswa. Dalam pembelajaran matematika siswa sering dituntut untuk pembuktian secara tertulis baik untuk rumus maupun soal-soal. Proses pembuktian atau soal  ini menunjukkan bahwa kata-kata, lambang-lambang, bilangan, grafik dan tabel telah digunakan untuk mengkomunikasikan ide-ide dan pikiran penulis. Ini menunjukkan tentang perlunya para siswa belajar matematika dengan alasan matematika merupakan alat komunikasi yang sangat kuat, teliti dan tidak membingungkan. Kita ketahui juga  lambang-lambang dalam matematika mengandung arti/makna. Untuk mengetahui tingkatan pemahaman siswa secara benar tersebut, maka lambang-lambang, kata-kata, grafk dan tabel perlu dikomunikasikan maknanya dengan orang lain baik tujuan, definisi/makna yang terkandung sehinga orang lain mengerti. Untuk menyampaikan apa yang siswa ketahui tersebut maka perlunya komunikasi itu sendiri. 

2.      Contoh soal Komunikasi

Perempat final Liga Champions 2010 diikuti 8 team A,B,C,D,E,F,G, dan H yang bertemu seperti tampak dalam undian berikut:

B

C

A

G

 

  

 Penyelesaian soal : Menggunakan Penalaran

            Pada diagram pada soal

Agar A menjadi juara A perlu 3 kali bertanding dan menang pada lawannya, sedangkan hanya memasuki final dan akhirnya kalah melawan A.

Agar  G masuk ke final, G perlu 2 kali bertanding dan menang pada lawannya.

Sehingga pertandingan yang diperhitungkan pada peluang kejadian adalah 3 pertandingan pada A, dan 2 pertandingan pada G.

Sehingga total pertandingan yang diperhitungkan ada 2 + 3 = 5 pertandingan.

Karena masing-masing pertandingan mempunyai peluang menang atau kalah sebesar 50% 

maka peluang agar hal itu terjadi adalah: 

Indikator Komunikasi Matematis :

1.      menghubungkan benda nyata, gambar, dan diagram ke dalam idea matematika.

2.      menjelaskan idea, situasi, dan relasi matematik, secara lisan dan tulisan dengan benda nyata, gambar, grafik dan aljabar

3.      menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa atau simbol matematika

4.      mendengarkan, berdiskusi, dan menulis tentang matematika

5.      membaca dengan pemahaman suatu presentasi Matematika tertulis

6.      membuat konjektur, menyusun argumen, merumuskan definisi dan generalisasi

7.      menjelaskan dan membuat pertanyaan matematika yang telah dipelajari.

Keg	Indikator	Analisis  Jawaban
	1	Agar A menjadi juara A perlu 3 kali Agar    G masuk ke final, G perlu 2 kali bertanding
	2	Agar A menjadi juara A perlu 3 kali bertanding dan menang pada lawannya, sedangkan G hanya memasuki final dan akhirnya kalah melawan A Agar    G  masuk ke final, G perlu 2 kali bertanding dan menang pada lawannya.
	3	Sehingga total pertandingan yang diperhitungkan ada 2 + 3 = 5 pertandingan
	5,6	Karena masing-masing pertandingan mempunyai peluang menang           atau kalah       sebesar 50% atau  maka peluang agar hal itu terjadi adalah:       =
	7	peluang kejadian A bertemu G di Final dan pada akhirnya A juara adalah

Contoh soal Penalaran :

            Buktikan formula “Gauss” 1 + 2 + … + n = n (n + 1)/2

           

            Jawab :

      1. Tunjukkan bahwa P(0) adalah benar. (langkah dasar)

                  Untuk n = 0 kita peroleh 0 = 0. Jadi P(0) Benar.

      2. Tunjukkan bahwa, jika P(n) maka P(n+1) untuk sebarang n∈N. (langkah induktif)

                  1 + 2 + … + n = n (n + 1)/2

                  1 + 2 + … + n + (n + 1)  = n (n + 1)/2 + (n + 1)

                                                        = (2n + 2 + n (n + 1))/2

                                                        = (2n + 2 + n² + n)/2

                                                        = (2 + 3n + n² )/2

                                                        = (n + 1) (n + 2)/2

                                                        = (n + 1) ((n + 1) + 1)/2

      3. Maka P(n) haruslah benar untuk sebarang n∈N. (kesimpulan)

1        + 2 + … + n = n (n + 1)/2 adalah

Benar untuk semua n∈N. Akhir dari pembuktian.

            Disamping prinsip induksi matematika yang telah dijelaskan, ada teknik pembuktian lain      yang sangat mirip dengan prinsip induksi matematika yang disebut sebagai prinsip kedua          dari induksi matematika. Prinsip ini dapat dipergunakan untuk membuktikan bahwa suatu          fungsi proposisi P(n) bernilai benar untuk sebarang bilangan cacah n. Langkah-langkah       pembuktian dalam prinsip kedua adalah sebagai berikut:

      • Tunjukkan bahwa P(0) adalah benar. (langkah dasar)

      • Tunjukkan bahwa jika P(0) dan P(1) dan … dan P(n), maka P(n+1) benar untuk sebarang n∈N. (langkah induktif)

      • Maka P(n) haruslah benar untuk sebarang n∈N. (kesimpulan)

Berdasarkan Uraian diatas, bahwa indicator penalaran dilihat dari langkah-langkah pembuktian siswa. Biasanya bentuk soal penalaran soal-soal kategori C5, yaitu soal-soal bentuk pembuktian dan penarikan kesimpulan. Proses penalaran dengan mengukur sejauh mana pola/langkah - langkah piker siswa dalam membuktikan sesuatu atau menarik kesimpulan, baik secara deduktif maupun induktif.

 Penalaran matematika (mathematical reasoning) diperlukan untuk menentukan apakah sebuah argumen matematika benar atau salah dan juga dipakai untuk membangun suatu argumen matematika. Penalaran matematika tidak hanya penting untuk melakukan pembuktian (proof) atau pemeriksaan program (program verification), tetapi juga untuk melakukan inferensi dalam suatu sistem kecerdasan buatan (artificial intelligence/AI).

3.      Contoh soal Pemecahan Masalah.

Polinom P(x) = x³ – x² + x – 2 mempunyai tiga pembuat nol yaitu a, b, dan c.

Nilai dari a³+b³+c³ adalah....

Penyelesaian :

Soal Pemecahan masalah adalah suatu soal yang mana pertanyaan soal itu menunjukkan adanya suatu tantangan yang tidak dapat dipecahkan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui siswa, maka untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan waktu yang lebih lama dari proses pemecahan soal rutin biasa.

            Proses Pemecahan masalah :

1.      Memahami masalah

2.      Merencanakan penyelesaian

3.      Melaksanakan Perencanaan

4.      Menafsirkan hasil

 Jawab :

1.      Memahami masalah maksudnya disini memahami apa yang diinginkan soal. Meliputi pokok bahasan apa yang dimaksud soal, apa yang diingikan dari soal tersebut. Meliputi :

·         Pokok bahasannya dari soal Polinomial 

·         Yang diinginkan nilai akar-akarnya

2.      Merencanakan penyelesaian dengan membuat pengelompokkan apa yang diketahui dari soal dan apa yang ditanya dari soal, Meliputi :

Dik :  Polinom :  x³ – x² + x – 2 = 0 memiliki akar-akar a, b, dan c.

Dit : nilai dari a³ + b³ + c³.

3.      Melaksanakan perencanaan, maksudnya disini mengetahui langkah awal apa saja yang perlu direncanakan dalam memecahkan permasalahan soal. Meliputi :

Dari soal tersebut dapat diketahui 3 hal, yaitu:

·         a + b + c = 1

·         ab + bc + ac = 1

·         abc = 2

Akan dicari a³ + b³ + c³, maka Langkah pertama adalah membuat persamaan umumnya :

                                                (a + b + c)³        =    (a + b + c)³ 

     (a³ + b³ + c³ ) + (a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³ )      =    (a + b + c)³ 

    (a³ + b³ + c³ ) + [(a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³ )]    =     (a + b + c)³ 

                                                a³ + b³ + c³        =     (a + b + c)³ - [(a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³ )]          

Sekarang akan disederhanakan nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)].

Karena pengembangan dari (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc.

Maka nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)] = 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc.

Diketahui pula bahwa :

(ab+bc+ac)(a+b+c)= a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac²  + 3abc, kita sebut persamaan 1.

Maka dari persamaan tadi didapat bahwa 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc,

nilai ini akan identik dengan: (3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 9abc) – 3abc.

Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi: 3(a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac² + abc) – 3abc. Dengan mensubtitusikan persamaan 1 ke persamaan diatas maka persamaan akan menjadi :

 3(ab + bc + ac)(a + b + c) – 3abc.

Sehingga disimpulkan nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)] adalah sama dengan

3(ab + bc + ac)(a + b + c) – 3abc.

Tadi telah kita dapat bahwa:

a³ + b³ + c³     =     (a + b + c)³ - [(a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³ )]          

Dengan mengganti nilai yang bercetak tebal menjadi 3(ab + bc + ac)(a + b + c) – 3abc, maka persamaan menjadi:

a³ + b³ + c³     =     (a + b + c)³ - 3(ab + bc + ac)(a + b + c) – 3abc

Sehingga persamaan yang digunakan adalah:

a³ + b³ + c³     =     (a + b + c)³ –  3[(ab + bc + ac)(a + b + c) – abc]

4.      Menafsirkan hasil, maksudnya dari proses rancangan diatas. Maka diperoleh persamaan yang lebih sederhana sehingga penyelesaian soal tinggal menafsirkan saja.

Dengan mensubtitusikan nilai a + b + c ; ab + bc + ac ; dan abc ke dalam persamaan, maka didapat : 

            a³ + b³ + c³     =     (1)³ –  3[(1)(1) – 2]

            a³ + b³ + c³     =     (1) –  3[(1) – 2]

            a³ + b³ + c³     =     (1) –  3[–1]

            a³ + b³ + c³     =     (1) +  3

]

            Sehingga didapat bahwa  nilai dari a³ + b³ + c³ = 4.